Comment calculer deux fonctions ?

Calculer la composition de deux fonctions : Au-delà de la simple substitution

La composition de fonctions est une opération fondamentale en mathématiques, permettant de combiner deux (ou plus) fonctions pour en créer une nouvelle. Elle consiste à appliquer une fonction au résultat d’une autre. Si l’on note f et g deux fonctions, la composition de f et g, notée (f ∘ g)(x) ou f(g(x)), signifie que l’on applique d’abord la fonction g à x, puis le résultat obtenu est utilisé comme argument pour la fonction f. Mais comment calculer concrètement cette composition, et surtout, comment déterminer sa limite ?

Calculer la composition : une approche pratique

Le calcul de la composition de deux fonctions est, en principe, simple. Il suffit de substituer l’expression de la fonction interne dans la fonction externe. Prenons un exemple concret :

Soient les fonctions f(x) = x² + 1 et g(x) = 2x – 3. Calculons (f ∘ g)(x) et (g ∘ f)(x).

• (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(2x – 3) = (2x – 3)² + 1 = 4x² – 12x + 9 + 1 = 4x² – 12x + 10

On a remplacé chaque occurrence de “x” dans l’expression de f(x) par l’expression de g(x).

• (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x² + 1) = 2(x² + 1) – 3 = 2x² + 2 – 3 = 2x² – 1

Ici, on a remplacé chaque occurrence de “x” dans l’expression de g(x) par l’expression de f(x). Notez que, en général, (f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x). La composition de fonctions n’est pas commutative.

Calculer la limite de la composition : une subtilité importante

Déterminer la limite de la composition de deux fonctions est plus délicat. Si la limite de la fonction interne existe en un point a, et si la fonction externe est continue en la limite de la fonction interne, alors on peut utiliser la propriété de substitution :

lim_x→a (f ∘ g)(x) = f(lim_x→a g(x))

Exemple:

Soient f(x) = √x et g(x) = x + 1. Calculons lim_x→3 (f ∘ g)(x).

1. On calcule d’abord la limite de la fonction interne : lim_x→3 g(x) = lim_x→3 (x + 1) = 4.

2. Puisque f(x) = √x est continue en x = 4, on peut substituer : lim_x→3 (f ∘ g)(x) = f(lim_x→3 g(x)) = f(4) = √4 = 2.

Cas particuliers et précautions:

• Discontinuité: Si la fonction externe n’est pas continue en la limite de la fonction interne, cette propriété ne s’applique pas. Une analyse plus approfondie est alors nécessaire.
• Indétermination: Des formes indéterminées peuvent apparaître lors du calcul de la limite de la composition. Des techniques comme la règle de L’Hôpital peuvent alors être utiles.
• Domaine de définition: Il est crucial de vérifier le domaine de définition des fonctions composées pour éviter les erreurs.

En conclusion, le calcul de la composition de fonctions, bien que conceptuellement simple, nécessite une attention particulière, surtout lorsqu’il s’agit de déterminer des limites. Une bonne compréhension du domaine de définition et une application rigoureuse des propriétés de continuité sont essentielles pour éviter les erreurs et obtenir des résultats corrects.