Comment trouver la formule d'une fonction ?

Décrypter la formule d’une fonction : Au-delà de l’affine

Déterminer la formule d’une fonction, c’est percer le secret de son comportement, comprendre comment une valeur de x engendre une valeur de y. Si le cas des fonctions affines, avec leur élégante simplicité, est relativement aisé, la recherche de la formule d’autres types de fonctions exige une approche plus systématique. Cet article explorera différentes méthodes, allant des techniques graphiques aux outils algébriques, en s’éloignant du terrain bien connu des fonctions affines pour aborder des cas plus complexes.

1. Le cas des fonctions affines : une révision éclairée

Comme rappelé, une fonction affine s’écrit sous la forme f(x) = ax + b. Trouver sa formule revient à déterminer les valeurs de a et b. La méthode graphique est la plus intuitive :

• Déterminer a (coefficient directeur ou pente) : Choisissez deux points distincts (x₁, y₁) et (x₂, y₂) de la droite représentant la fonction. La pente est donnée par : a = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁).
• Déterminer b (ordonnée à l’origine) : C’est la valeur de y lorsque x = 0. Graphiquement, il s’agit du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. On peut aussi le calculer en substituant les coordonnées d’un point et la valeur de a dans la formule f(x) = ax + b.

2. Au-delà de l’affine : explorer d’autres familles de fonctions

L’identification de la formule devient plus ardue lorsque l’on s’éloigne des fonctions affines. Plusieurs pistes sont possibles :

• Analyse graphique : L’observation du graphe peut suggérer le type de fonction. Une parabole évoque une fonction quadratique (f(x) = ax² + bx + c), une courbe en S une fonction cubique ou une fonction exponentielle, etc. L’identification des points clés (sommet d’une parabole, asymptotes, points d’inflexion…) permet de poser des hypothèses sur la formule.

• Utilisation de points clés : Si l’on dispose de plusieurs points (xᵢ, yᵢ) appartenant à la fonction, on peut construire un système d’équations. Par exemple, pour une fonction quadratique, trois points suffisent à déterminer a, b et c. La résolution de ce système permet de trouver les coefficients de la formule. Pour des fonctions plus complexes, davantage de points seront nécessaires.

• Reconnaissance de motifs et propriétés : Certaines fonctions présentent des propriétés caractéristiques. La périodicité suggère une fonction trigonométrique. Une croissance exponentielle indique une fonction exponentielle. Identifier ces caractéristiques guide le choix du modèle fonctionnel.

• Régression et logiciels mathématiques : Pour des données expérimentales ou des ensembles de points nombreux et dispersés, les méthodes de régression (linéaire, polynomiale, exponentielle…) offertes par des logiciels comme Excel, R ou Python permettent d’ajuster un modèle fonctionnel aux données et d’obtenir une formule approximative.

3. Conclusion : un défi stimulant

Trouver la formule d’une fonction est un processus qui combine observation, intuition et outils mathématiques. Si les fonctions affines offrent une approche simple et directe, l’analyse de fonctions plus complexes nécessite une démarche plus stratégique, combinant l’analyse graphique, l’algèbre et potentiellement l’utilisation de logiciels spécialisés. Le défi est stimulant, car il révèle la puissance des mathématiques dans la modélisation et la description de phénomènes variés.