Comment trouver la valeur de la constante k ?

Déterminer la valeur de la constante k pour assurer la continuité d’une fonction

La détermination de la valeur d’une constante k assurant la continuité d’une fonction est un exercice classique en analyse. Cette constante, souvent intégrée dans la définition d’une fonction par morceaux, joue un rôle crucial dans la cohérence et la régularité de la courbe représentative. Ce processus, bien que simple en principe, requiert une compréhension précise des limites et de la définition de la continuité.

Définition de la continuité:

Une fonction f(x) est continue en un point x = a si et seulement si :

1. f(a) est définie (la fonction existe en ce point).
2. lim_x→a f(x) existe (la limite de la fonction en a existe).
3. lim_x→a f(x) = f(a) (la limite est égale à la valeur de la fonction en a).

Trouver la valeur de k:

Pour déterminer la valeur de k garantissant la continuité d’une fonction, il faut identifier les points de discontinuité potentiels. Ces points sont généralement ceux où la fonction est définie par morceaux, c’est-à-dire où la définition de la fonction change.

Au niveau de ces points, la continuité est assurée si la limite à gauche est égale à la limite à droite, et toutes deux égales à la valeur de la fonction en ce point. En d’autres termes, on doit avoir :

lim_x→a^– f(x) = lim_x→a⁺ f(x) = f(a)

Si la fonction est définie par morceaux, cela se traduit par l’égalisation des expressions des limites à gauche et à droite en fonction de k, puis la résolution de l’équation obtenue pour trouver la valeur de k.

Exemple concret:

Considérons la fonction définie par :

f(x) = { x² + 2 si x ≤ 2
{ kx – 1 si x > 2

Le point de discontinuité potentiel est x = 2. Pour assurer la continuité en x = 2, nous devons résoudre :

lim_x→2^– f(x) = lim_x→2⁺ f(x)

Ce qui donne :

lim_x→2^– (x² + 2) = lim_x→2⁺ (kx – 1)

En calculant les limites, on obtient :

(2)² + 2 = k(2) – 1

6 = 2k – 1

2k = 7

k = 7/2

Ainsi, pour que la fonction f(x) soit continue, la valeur de k doit être 7/2.

Conclusion:

La recherche de la valeur de k assurant la continuité d’une fonction est un problème d’égalisation des limites. L’identification des points de discontinuité potentiels et l’application de la définition de la continuité permettent de construire et de résoudre une équation pour déterminer la valeur de k. Cette méthode est essentielle pour comprendre le comportement des fonctions et pour résoudre de nombreux problèmes d’analyse. N’oubliez pas de toujours vérifier la définition de la fonction au point considéré pour assurer que la fonction est bien définie en ce point.