Comment calculer la surface avec 4 côtés différents ?

Calculer la surface d’un quadrilatère aux quatre côtés inégaux : une approche par triangulation

Calculer l’aire d’un quadrilatère régulier, comme un carré ou un rectangle, est une opération élémentaire. En revanche, déterminer la surface d’un quadrilatère dont les quatre côtés sont de longueurs différentes exige une méthode plus sophistiquée. Il n’existe pas de formule unique et directe ; la stratégie repose sur la décomposition du quadrilatère en formes géométriques plus simples dont l’aire est calculable. La méthode la plus courante est la triangulation.

La méthode de triangulation:

Cette méthode consiste à diviser le quadrilatère en deux triangles en traçant une diagonale. Connaissant la longueur des trois côtés de chaque triangle (deux côtés du quadrilatère et la diagonale), nous pouvons utiliser la formule de Héron pour calculer l’aire de chaque triangle, puis additionner ces aires pour obtenir l’aire totale du quadrilatère.

Formule de Héron:

Soit un triangle de côtés a, b et c. Son demi-périmètre (s) est calculé par : s = (a + b + c) / 2

L’aire (A) du triangle est ensuite donnée par la formule de Héron :

A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

Application pratique :

Prenons un quadrilatère ABCD avec les longueurs de côtés suivantes :

• AB = 5 cm
• BC = 6 cm
• CD = 7 cm
• DA = 8 cm

Et supposons que la longueur de la diagonale AC soit de 9 cm.

Étape 1 : Calcul de l’aire du triangle ABC:

• a = 5 cm
• b = 6 cm
• c = 9 cm
• s = (5 + 6 + 9) / 2 = 10 cm
• A_ABC = √[10(10-5)(10-6)(10-9)] = √[10 5 4 * 1] = √200 ≈ 14.14 cm²

Étape 2 : Calcul de l’aire du triangle ACD:

• a = 9 cm
• b = 7 cm
• c = 8 cm
• s = (9 + 7 + 8) / 2 = 12 cm
• A_ACD = √[12(12-9)(12-7)(12-8)] = √[12 3 5 * 4] = √720 ≈ 26.83 cm²

Étape 3 : Calcul de l’aire totale du quadrilatère:

L’aire totale du quadrilatère ABCD est la somme des aires des deux triangles :

A_ABCD = A_ABC + A_ACD ≈ 14.14 cm² + 26.83 cm² ≈ 40.97 cm²

Remarques importantes:

• La longueur de la diagonale utilisée est cruciale. Le choix d’une autre diagonale (BD) donnerait des triangles différents et donc un calcul d’aire légèrement différent en raison des erreurs d’arrondi.
• Si les longueurs des côtés sont connues, mais pas la longueur de la diagonale, il faudra utiliser des outils de géométrie plus avancés (trigonométrie par exemple) pour déterminer la longueur de cette diagonale avant de pouvoir appliquer la formule de Héron.
• Il existe d’autres méthodes pour calculer l’aire d’un quadrilatère, mais la triangulation reste une approche simple et efficace dans la plupart des cas.

En conclusion, calculer la surface d’un quadrilatère aux quatre côtés inégaux requiert une approche par décomposition en triangles plus simples, utilisant la formule de Héron pour un calcul précis. La précision du résultat dépend de la précision des mesures des côtés et des diagonales.