Comment dériver f ◦ g ?

Dériver une Fonction Composée : Un Guide Clair et Concis

La dérivation de fonctions composées est une compétence fondamentale en calcul différentiel. Elle nous permet de déterminer le taux de variation d’une fonction qui est elle-même une fonction d’une autre fonction. Autrement dit, nous cherchons à dériver une expression de la forme (f ◦ g)(x), ce qui signifie f(g(x)).

La Règle de la Chaîne : Votre Outil Indispensable

La règle de la chaîne est l’outil qui vous permettra de maîtriser la dérivation des fonctions composées. Elle se formule simplement :

La dérivée de (f ◦ g)(x) est égale à la dérivée de f évaluée en g(x), multipliée par la dérivée de g(x).

Mathématiquement, cela s’exprime ainsi :

*(f ◦ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x)**

Décortiquons la Règle : Comprendre l’Ordre et les Opérations

Il est crucial de comprendre l’ordre des opérations pour appliquer correctement la règle de la chaîne. Voici une décomposition étape par étape :

1. Identifier les fonctions f et g : Déterminez clairement quelle est la fonction “extérieure” (f) et quelle est la fonction “intérieure” (g). Pensez à f comme la fonction qui agit “en dernier”.
2. Calculer la dérivée de f : Trouvez f'(x), la dérivée de la fonction extérieure.
3. Évaluer f’ en g(x) : Substituez g(x) à x dans l’expression de f'(x). Vous obtenez ainsi f'(g(x)).
4. Calculer la dérivée de g : Trouvez g'(x), la dérivée de la fonction intérieure.
5. Multiplier : Multipliez f'(g(x)) par g'(x). Le résultat est la dérivée de la fonction composée (f ◦ g)(x).

Un Exemple pour Illustrer :

Prenons un exemple simple : supposons que f(x) = sin(x) et g(x) = x². Alors (f ◦ g)(x) = sin(x²).

1. f(x) = sin(x) et g(x) = x²
2. f'(x) = cos(x)
3. f'(g(x)) = cos(x²)
4. g'(x) = 2x
5. (f ◦ g)'(x) = cos(x²) 2x = 2x cos(x²)

Donc, la dérivée de sin(x²) est 2x * cos(x²).

Points Clés à Retenir :

• L’ordre est primordial : La règle de la chaîne impose un ordre précis dans le calcul. Ne mélangez pas les étapes.
• Identifier correctement les fonctions : Une mauvaise identification de f et g conduira à une dérivée incorrecte.
• Entraînement : La maîtrise de la règle de la chaîne vient avec la pratique. Entraînez-vous sur différents exemples pour vous familiariser avec les différentes configurations.

En conclusion, la règle de la chaîne est un outil puissant et essentiel pour la dérivation des fonctions composées. Comprendre les étapes et l’ordre des opérations vous permettra de maîtriser cette technique et de l’appliquer avec succès à une grande variété de problèmes de calcul.