Comment déterminer f rond g ?

Comment déterminer f ∘ g

En mathématiques, la composition de fonctions est une opération qui consiste à appliquer une fonction à une autre fonction. La fonction composée de f par g est notée f ∘ g et est définie par :

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

Par exemple, si f(x) = x² et g(x) = x + 1, alors :

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1

Dérivée d’une fonction composée

La dérivée d’une fonction composée est donnée par la règle de la chaîne :

(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

où f'(x) et g'(x) sont les dérivées de f et g respectivement.

Cette règle nous permet de calculer la dérivée de la fonction composée sans développer explicitement f(g(x)). Par exemple, pour calculer la dérivée de la fonction (x² + 2x + 1), qui est la fonction composée de f(x) = x² et g(x) = x + 1, nous utilisons la règle de la chaîne :

(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = 2g(x) * 1 = 2(x + 1) = 2x + 2

Exemple

Calculons la dérivée de la fonction composée suivante :

h(x) = sin(2x + 1)

En utilisant la règle de la chaîne, nous obtenons :

h'(x) = sin'(2x + 1) * (2x + 1)' = cos(2x + 1) * 2 = 2cos(2x + 1)