Comment savoir si un système a une infinité de solutions ?

L’Infini des Solutions : Déterminer quand un système d’équations linéaires en possède une infinité

La résolution de systèmes d’équations linéaires est un pilier de l’algèbre. Alors que l’on s’attend souvent à une solution unique, ou à aucune solution, la possibilité d’une infinité de solutions peut sembler paradoxale. Comprendre comment identifier cette situation est crucial pour maîtriser la résolution de systèmes.

Contrairement à une idée reçue, la méthode de résolution employée (substitution, combinaison linéaire, méthode matricielle, etc.) n’influence pas la détermination du nombre de solutions. Le critère déterminant réside dans la nature géométrique des équations, considérées comme des représentations de droites (en deux dimensions) ou de plans (en trois dimensions), et plus généralement d’hyperplans en dimensions supérieures.

Le critère fondamental : la dépendance linéaire

Un système d’équations linéaires possède une infinité de solutions si, et seulement si, les équations sont linéairement dépendantes. Cela signifie qu’au moins une équation peut être exprimée comme une combinaison linéaire des autres. Géométriquement, cela se traduit par le fait que les droites (ou plans, hyperplans) représentatives sont confondues. Elles occupent le même espace géométrique.

Prenons l’exemple simple de deux équations à deux inconnues :

• 2x + y = 3
• 4x + 2y = 6

La seconde équation est le double de la première. Elles représentent la même droite dans le plan. N’importe quel point sur cette droite (x, y) tel que 2x + y = 3 est une solution du système. Il y a donc une infinité de solutions.

Comment identifier la dépendance linéaire ?

Plusieurs méthodes permettent de détecter la dépendance linéaire :

• Analyse visuelle (pour les systèmes simples): Une inspection attentive des équations peut révéler une relation de proportionnalité entre elles, comme dans l’exemple ci-dessus.
• Réduction par échelonnement (méthode de Gauss): En appliquant la méthode de Gauss pour mettre le système sous forme échelonnée, une ligne de zéros indique la dépendance linéaire. Si le nombre d’équations indépendantes est inférieur au nombre d’inconnues, il y a une infinité de solutions.
• Calcul du déterminant (pour les systèmes carrés): Pour un système carré (même nombre d’équations et d’inconnues), un déterminant nul indique la dépendance linéaire et donc une infinité de solutions (ou aucune solution, selon la consistance du système).

Cas particuliers et interprétation géométrique

Il est important de souligner que la présence d’une infinité de solutions n’implique pas une indétermination totale. Les solutions sont généralement paramétrées, exprimant une ou plusieurs variables en fonction d’autres variables libres. Cette paramétrisation décrit l’ensemble des solutions, qui constitue une droite, un plan ou un hyperplan dans l’espace des solutions.

En résumé, déterminer si un système d’équations linéaires admet une infinité de solutions revient à identifier la dépendance linéaire entre les équations, ce qui se traduit géométriquement par la superposition des objets géométriques représentatifs des équations. L’utilisation d’une méthode de résolution appropriée permettra ensuite de caractériser l’ensemble des solutions infinies.