Quand utiliser le discriminant réduit ?

Le Discriminant Réduit : Un raccourci astucieux pour les équations du second degré

L’équation du second degré, omniprésente en mathématiques et en physique, se présente sous la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des coefficients réels avec a ≠ 0. La résolution de cette équation passe souvent par le calcul du discriminant, noté Δ, qui détermine le nombre de solutions réelles de l’équation : Δ = b² – 4ac. Cependant, lorsque le coefficient b est pair, un calcul plus simple et plus rapide est possible grâce au discriminant réduit.

L’utilisation du discriminant réduit est particulièrement avantageuse lorsqu’on observe que le coefficient b est un nombre pair. Plutôt que d’utiliser la formule classique du discriminant, on peut simplifier le processus en posant une nouvelle variable, souvent notée b’, telle que b = 2b’. En substituant cette nouvelle variable dans l’équation du second degré et dans la formule du discriminant, on obtient :

• Equation du second degré: ax² + 2b’x + c = 0
• Discriminant réduit: Δ’ = b’² – ac

Remarquez que le discriminant réduit, Δ’, est lié au discriminant classique, Δ, par la relation simple : Δ = 4Δ’. Le calcul de Δ’ est souvent plus aisé, car il implique un carré plus petit (b’² au lieu de b²), réduisant ainsi les risques d’erreurs de calcul et la complexité des opérations, notamment pour les nombres importants.

Quand utiliser le discriminant réduit ?

L’utilisation du discriminant réduit est recommandée dans tous les cas où le coefficient b de l’équation du second degré est un nombre pair. Cela permet de gagner du temps et de simplifier les calculs, conduisant à une résolution plus rapide et plus efficace. Par exemple, pour l’équation 3x² + 12x + 9 = 0, on a b = 12 (pair), donc l’utilisation du discriminant réduit est appropriée. On pose b’ = 6, et on calcule Δ’ = 6² – 3*9 = 36 – 27 = 9. On en déduit Δ = 4Δ’ = 36.

En résumé:

Le discriminant réduit est un outil précieux pour résoudre les équations du second degré lorsque le coefficient b est pair. Son utilisation permet de simplifier les calculs et d’accroître l’efficacité de la résolution. Il est donc conseillé de l’utiliser systématiquement dans ces situations pour optimiser le processus de résolution. N’oubliez pas que la relation entre le discriminant classique et le discriminant réduit est Δ = 4Δ’, ce qui permet de passer facilement de l’un à l’autre si nécessaire. L’utilisation judicieuse du discriminant réduit contribue à une meilleure maîtrise des équations du second degré et à une résolution plus élégante.