Comment déterminer le DFOG ?

Démystifier le DFOG : Comment déterminer le Domaine de Définition d’une Fonction Composée

La composition de fonctions est une opération fondamentale en mathématiques, permettant de créer de nouvelles fonctions à partir d’autres. L’une des subtilités qui l’accompagne est la détermination du Domaine de Définition de la Fonction Composée (DFOG), souvent noté Dom(f∘g). Comprendre comment le calculer est essentiel pour maîtriser l’analyse des fonctions. Cet article se propose d’expliciter clairement la méthode pour déterminer le DFOG, en allant au-delà de la simple substitution.

Le Principe de la Composition : f∘g

Avant de plonger dans le DFOG, rappelons brièvement le principe de la composition. La fonction composée (f∘g)(x), ou f(g(x)), signifie qu’on applique d’abord la fonction g à x, puis on applique la fonction f au résultat obtenu. En d’autres termes, la sortie de g devient l’entrée de f.

La Démarche pour Déterminer le DFOG : Bien Plus qu’une Simple Substitution

L’idée clé pour déterminer le Dom(f∘g) est de considérer deux contraintes essentielles :

1. La fonction g(x) doit être définie. Pour que f(g(x)) ait un sens, il faut d’abord pouvoir calculer g(x). Cela signifie que x doit appartenir au domaine de définition de la fonction g. Donc, x ∈ Dom(g).

2. La valeur de g(x) doit appartenir au domaine de définition de la fonction f. Une fois qu’on a calculé g(x), le résultat obtenu doit pouvoir être “accepté” par la fonction f. Autrement dit, g(x) doit appartenir au domaine de définition de f. Donc, g(x) ∈ Dom(f).

En résumé, le Dom(f∘g) est l’ensemble des valeurs de x telles que :

• x appartient au Dom(g)
• et g(x) appartient au Dom(f)

Méthodologie Pas à Pas :

1. Déterminer le Dom(g) et le Dom(f) séparément. C’est la première étape cruciale. Identifiez toutes les valeurs de x pour lesquelles g(x) est définie, et toutes les valeurs pour lesquelles f(x) est définie. Soyez attentif aux restrictions courantes comme les divisions par zéro, les racines carrées de nombres négatifs, ou les logarithmes de nombres non-positifs.

2. Trouver l’ensemble des x tels que g(x) appartient au Dom(f). C’est l’étape la plus délicate. Vous devez résoudre l’inéquation g(x) ∈ Dom(f). Cela signifie que vous devez trouver toutes les valeurs de x qui, lorsqu’elles sont insérées dans g(x), donnent un résultat qui se trouve à l’intérieur du domaine de définition de f.

3. Prendre l’intersection des deux ensembles. Finalement, le Dom(f∘g) est l’intersection de l’ensemble trouvé à l’étape 2 avec le Dom(g). En d’autres termes, le Dom(f∘g) contient uniquement les valeurs de x qui satisfont à la fois la condition que x ∈ Dom(g) et que g(x) ∈ Dom(f).

Exemple Concret :

Soit f(x) = √x et g(x) = x – 2.

1. Dom(f) = [0, +∞[ (car la racine carrée n’est définie que pour les nombres positifs ou nuls).
   Dom(g) = ℝ (g(x) est une fonction affine définie pour tous les nombres réels).

2. g(x) ∈ Dom(f) <=> x – 2 ≥ 0 <=> x ≥ 2.

3. Dom(f∘g) = Dom(g) ∩ {x | x ≥ 2} = ℝ ∩ [2, +∞[ = [2, +∞[.

Donc, le domaine de définition de f(g(x)) = √(x – 2) est [2, +∞[.

Erreurs à Éviter :

• Se focaliser uniquement sur la fonction composée finale : Il est tentant de simplement déterminer le domaine de la fonction une fois qu’elle est composée. Cependant, cela peut conduire à des erreurs car on néglige les restrictions initiales imposées par g(x).
• Oublier les restrictions implicites : Soyez attentif aux divisions par zéro, racines carrées de nombres négatifs, logarithmes, etc., qui peuvent ne pas être explicitement mentionnées mais qui sont pourtant cruciales pour définir les domaines.

Conclusion :

Déterminer le DFOG d’une fonction composée demande une approche méthodique et rigoureuse. En considérant à la fois le domaine de la fonction intérieure (g) et la condition que la sortie de g appartienne au domaine de la fonction extérieure (f), on peut identifier précisément les valeurs de x pour lesquelles la fonction composée est définie. La pratique, à travers de nombreux exemples, est la clé pour maîtriser cette notion essentielle de l’analyse des fonctions. En suivant la méthode pas à pas décrite ici, vous serez en mesure de déchiffrer et de déterminer le DFOG avec assurance.