Como e formado o conjunto Q?

A Construção do Conjunto dos Números Racionais (ℚ)

O conjunto dos números racionais (ℚ), frequentemente introduzido como o conjunto das frações, possui uma construção formal mais elaborada do que simplesmente dizer “todos os números da forma a/b”. Essa construção garante a consistência matemática e evita ambiguidades, como a representação do mesmo número racional por infinitas frações diferentes (ex: 1/2 = 2/4 = 3/6…).

Em vez de definir diretamente o conjunto ℚ, partimos do conjunto dos números inteiros, ℤ, e construímos ℚ a partir dele. O processo envolve a definição de uma relação de equivalência sobre um conjunto específico. Vejamos os passos:

1. *Consideramos o conjunto ℤ x ℤ:* Este conjunto representa todos os pares ordenados (a, b), onde ‘a’ é um inteiro (∈ ℤ) e ‘b’ é um inteiro não nulo (∈ ℤ). Intuitivamente, ‘a’ representa o numerador e ‘b’ o denominador da nossa futura fração.

2. Definimos uma relação de equivalência: Dizemos que dois pares (a, b) e (c, d) são equivalentes, denotado por (a, b) ~ (c, d), se e somente se ad = bc. Essa condição captura a ideia de frações equivalentes. Por exemplo, (1, 2) ~ (2, 4) pois 14 = 22.

3. Classes de Equivalência: A relação de equivalência divide o conjunto ℤ x ℤ* em classes de equivalência. Uma classe de equivalência, denotada por [(a, b)], é o conjunto de todos os pares ordenados que são equivalentes a (a, b). Por exemplo, a classe de equivalência [(1, 2)] contém (1, 2), (2, 4), (3, 6), etc.

4. O Conjunto ℚ: O conjunto dos números racionais, ℚ, é definido como o conjunto de todas as classes de equivalência geradas pela relação ~ no conjunto ℤ x ℤ*. Cada classe de equivalência representa um único número racional. Assim, [(1, 2)] representa o número racional 1/2, [(2, 4)] também representa 1/2, e assim por diante.

5. Operações em ℚ: As operações de adição e multiplicação em ℚ são definidas em termos das classes de equivalência:

   • Adição: [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)]
   • Multiplicação: [(a, b)] * [(c, d)] = [(ac, bd)]

Essa construção rigorosa, utilizando classes de equivalência, garante que o conjunto ℚ seja bem definido e que as operações aritméticas sejam consistentes, independentemente da representação fracionária escolhida para um número racional. Ela resolve o problema da multiplicidade de representações e fornece uma base sólida para o estudo das propriedades dos números racionais.