Como é formado o conjunto Q?

Desvendando a Construção do Conjunto dos Números Racionais (ℚ)

O conjunto dos números racionais, denotado por ℚ (lê-se “quê”), é um conceito fundamental na matemática, expandindo o universo numérico além dos inteiros. Ao contrário de uma construção sequencial, a definição de ℚ se baseia em uma propriedade crucial: a capacidade de representar qualquer número racional como uma fração. Mas como essa representação define todo o conjunto? Vamos explorar isso a fundo.

A formação de ℚ parte do conjunto dos números inteiros (ℤ), que inclui os números positivos, negativos e o zero {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}. A chave para entender ℚ reside na definição formal: um número é racional se, e somente se, puder ser expresso na forma de uma fração p/q, onde:

• p ∈ ℤ: “p” é um número inteiro, podendo ser positivo, negativo ou zero. Este é o numerador da fração.
• q ∈ ℤ e q ≠ 0: “q” também é um número inteiro, mas com a restrição crucial de ser diferente de zero. Este é o denominador da fração, e sua proibição de ser zero evita a indefinição da divisão por zero.

Essa definição aparentemente simples engloba uma vasta quantidade de números. Vamos analisar alguns exemplos:

• Números Inteiros: Todo número inteiro pode ser escrito como uma fração. Por exemplo, o inteiro 5 pode ser representado como 5/1, -3 como -3/1, e 0 como 0/1. Logo, ℤ é um subconjunto de ℚ (ℤ ⊂ ℚ).

• Números Decimais Finitos: Números decimais com um número finito de casas após a vírgula também são racionais. Por exemplo, 0,75 pode ser escrito como 3/4, e -2,5 como -5/2. A conversão para fração envolve o uso de potências de 10.

• Dízimas Periódicas: Aqui reside a verdadeira potência da definição de ℚ. As dízimas periódicas, aqueles números decimais com uma sequência de dígitos que se repete infinitamente, também são racionais. Por exemplo, 0,333… (1/3) ou 0,142857142857… (1/7). Existem métodos algébricos para converter essas dízimas em frações. A possibilidade desta conversão é a prova de sua racionalidade.

Em resumo, o conjunto ℚ é formado por todas as possíveis frações p/q, obedecendo às restrições mencionadas. Essa construção gera um conjunto infinito e denso, significando que entre quaisquer dois números racionais, sempre existirá outro número racional. Apesar de infinito, ℚ não abrange todos os números. Os números que não podem ser expressos como frações de inteiros são chamados de números irracionais, formando o conjunto 𝕀, e sua união com ℚ gera o conjunto dos números reais (ℝ). A compreensão da construção de ℚ é fundamental para a compreensão de sistemas numéricos mais complexos e para o desenvolvimento de conceitos avançados em matemática.