¿Qué es una solución degenerada?

Las Soluciones Degeneradas en Programación Lineal: Un Obstáculo a la Eficiencia

En la programación lineal, el objetivo es optimizar una función lineal sujeta a un conjunto de restricciones lineales. La región factible, formada por el conjunto de puntos que satisfacen todas las restricciones, contiene la solución óptima. Sin embargo, en ocasiones, esta región presenta características que pueden dificultar la resolución, y una de ellas es la degeneración.

Una solución degenerada en programación lineal ocurre cuando tres o más restricciones del problema coinciden en un único punto de la región factible. Este punto, conocido como punto degenerado, representa una redundancia en las restricciones; es decir, alguna(s) de ellas no aportan información nueva al espacio factible en comparación con las demás. En otras palabras, el punto degenerado se encuentra en el cruce de múltiples restricciones, creando un punto en el que la información contenida en las restricciones se solapa innecesariamente.

Esta redundancia, aparentemente inofensiva, puede tener consecuencias significativas en la eficiencia de los algoritmos de resolución. Los algoritmos de programación lineal iterativos, como el método simplex, tienden a moverse de un vértice factible a otro de la región factible hasta encontrar el óptimo. En presencia de puntos degenerados, el algoritmo puede oscilar durante un número mayor de iteraciones, generando un incremento considerable en el tiempo de cómputo.

La razón de este fenómeno radica en que, en un punto degenerado, el algoritmo encuentra que la mejora en la función objetivo es nula al moverse a un vértice adyacente, ya que dicho vértice coincide con el ya evaluado. Esta situación, aunque no impide la obtención de la solución óptima, puede prolongar considerablemente el proceso de búsqueda.

Además de la lentitud en la convergencia, la degeneración puede dar lugar a ciclos en el algoritmo simplex. Si el algoritmo se mueve repetidamente entre puntos degenerados adyacentes, podría quedarse atrapado en un ciclo infinito, perdiendo la garantía de convergencia en un tiempo razonable.

Para mitigar los problemas ocasionados por las soluciones degeneradas, se pueden emplear técnicas como la introducción de pequeñas perturbaciones aleatorias a las restricciones o el uso de algoritmos mejorados que minimizan el tiempo de cómputo en estos escenarios. También es crucial una correcta interpretación y análisis del problema, en el que se identifiquen posibles redundancias en las restricciones para evitarlas desde el principio o, en su defecto, considerar la posibilidad de estas situaciones degeneradas durante el proceso de resolución.

En resumen, la presencia de puntos degenerados, aunque no invalida la obtención de la solución óptima, puede significativamente afectar la eficiencia de los métodos iterativos en programación lineal. La comprensión de este fenómeno y la implementación de estrategias adecuadas son fundamentales para asegurar un proceso de resolución eficaz y robusto.