¿Cómo determinar si un vector es base?

Cómo determinar si un vector es base

Un conjunto de vectores forma una base para un espacio vectorial si cumplen dos condiciones:

1. Independencia lineal

Los vectores deben ser linealmente independientes, lo que significa que ningún vector puede expresarse como una combinación lineal de los demás. En otras palabras, la ecuación:

c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0

tiene únicamente la solución trivial (c₁ = c₂ = … = cₙ = 0).

2. Dimensión correcta

El número de vectores en el conjunto debe ser igual a la dimensión del espacio vectorial. La dimensión es el número máximo de vectores linealmente independientes que forman una base para el espacio.

Procedimiento

Para determinar si un conjunto de vectores es una base, sigue estos pasos:

1. Verifica la independencia lineal

• Crea una matriz con los vectores como columnas.
• Reduce la matriz a su forma escalonada reducida.
• Si la matriz escalonada reducida tiene columnas pivot en cada fila, los vectores son linealmente independientes.

2. Compara la dimensión

• Cuenta el número de columnas pivot en la matriz escalonada reducida.
• Si el número de columnas pivot es igual a la dimensión del espacio vectorial, el conjunto de vectores forma una base.

Ejemplo

Considera el siguiente conjunto de vectores en R³:

v₁ = (1, 0, 1)
v₂ = (0, 1, 1)
v₃ = (1, 1, 0)

1. Independencia lineal

La matriz con estos vectores como columnas es:

[ 1  0  1 ]
[ 0  1  1 ]
[ 1  1  0 ]

Al reducirla a su forma escalonada reducida, obtenemos:

[ 1  0  0 ]
[ 0  1  0 ]
[ 0  0  1 ]

Como hay tres columnas pivot, los vectores son linealmente independientes.

2. Dimensión

La dimensión de R³ es 3. Como el número de vectores en el conjunto es igual a 3 y son linealmente independientes, forman una base para R³.

Conclusión

Al verificar la independencia lineal y comparar la dimensión, podemos determinar si un conjunto de vectores forma una base para un espacio vectorial dado. Esta es una herramienta esencial para comprender y operar en espacios vectoriales.