¿Cuándo se puede aplicar la propiedad distributiva en la división?

La Propiedad Distributiva y la División: Un Enfoque Indirecto

La propiedad distributiva, un pilar fundamental del álgebra, establece que la multiplicación se distribuye sobre la suma y la resta: a(b + c) = ab + ac y a(b – c) = ab – ac. Sin embargo, una pregunta recurrente entre estudiantes de matemáticas es si esta propiedad se aplica directamente a la división. La respuesta es no. No existe una propiedad distributiva directa para la división. Es decir, a ÷ (b + c) ≠ (a ÷ b) + (a ÷ c) y a ÷ (b – c) ≠ (a ÷ b) – (a ÷ c). Estas igualdades son, en general, falsas.

No obstante, podemos aprovechar la relación entre la multiplicación y la división para aplicar un concepto análogo en ciertos casos. La clave radica en la reescritura de la expresión. Recordemos que dividir entre un número es equivalente a multiplicar por su inverso multiplicativo (o recíproco). Así, podemos reformular una división donde el dividendo es una suma o una resta para aplicar la propiedad distributiva indirectamente.

Consideremos la expresión (a + b) ÷ c. Podemos reescribirla como (a + b) × (1/c). Ahora sí podemos aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación:

(a + b) × (1/c) = a × (1/c) + b × (1/c) = a/c + b/c

De igual manera, para la expresión (a – b) ÷ c, tenemos:

(a – b) × (1/c) = a × (1/c) – b × (1/c) = a/c – b/c

En ambos casos, hemos “distribuido” la división sobre la suma o la resta del dividendo, pero solo después de transformarla en una multiplicación. Este método no es una aplicación directa de la propiedad distributiva a la división, sino una manipulación algebraica que permite aprovechar la propiedad distributiva de la multiplicación para simplificar cálculos.

Ejemplos prácticos:

• (15 + 5) ÷ 5: En lugar de sumar 15 + 5 = 20 y luego dividir entre 5, podemos aplicar el método descrito: (15 ÷ 5) + (5 ÷ 5) = 3 + 1 = 4. Esto facilita el cálculo mental.

• (24 – 6) ÷ 6: Similarmente, podemos calcular (24 ÷ 6) – (6 ÷ 6) = 4 – 1 = 3, evitando la resta previa.

En conclusión, aunque no existe una propiedad distributiva para la división en el sentido directo, podemos utilizar la relación inversa entre multiplicación y división y la propiedad distributiva de la multiplicación para simplificar expresiones donde el dividendo es una suma o resta. Esto proporciona una herramienta útil para cálculos mentales y simplificación algebraica, demostrando la potencia y la flexibilidad de las propiedades fundamentales del álgebra.