ลู่เข้าลู่ออกดูไง

ส่องกล้องมองลำดับ: ลู่เข้า ลู่ออก ดูอย่างไร?

ในโลกของคณิตศาสตร์ ลำดับ (Sequence) เปรียบเสมือนขบวนรถไฟที่เรียงรายขบวนยาว แต่ละตู้บรรทุกค่าตัวเลขที่เรียกว่า “พจน์” (Term) การเดินทางของขบวนรถไฟลำดับนี้ อาจมีจุดหมายปลายทางที่ชัดเจน หรืออาจจะหลงระเริงเดินทางไร้ทิศทางก็เป็นได้

บทความนี้จะพาคุณไปส่องกล้องมองลำดับชนิดพิเศษ ที่เรียกว่า “ลำดับลู่เข้า” (Convergent Sequence) และทำความเข้าใจกับคู่ตรงข้ามอย่าง “ลำดับลู่ออก” (Divergent Sequence) เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนยิ่งขึ้น

ลำดับลู่เข้า: การเดินทางสู่จุดหมายปลายทาง

ลองนึกภาพขบวนรถไฟลำดับที่วิ่งตรงไปยังสถานีปลายทางอย่างไม่ลดละ ยิ่งขบวนรถไฟวิ่งไปไกลเท่าไหร่ ระยะห่างระหว่างขบวนรถไฟกับสถานีปลายทางก็ยิ่งใกล้เข้ามาเท่านั้น

ในทางคณิตศาสตร์ เราเรียกขบวนรถไฟที่มีพฤติกรรมแบบนี้ว่า “ลำดับลู่เข้า”

หัวใจสำคัญของลำดับลู่เข้า คือ พจน์ในลำดับจะเข้าใกล้ค่าคงที่ค่าหนึ่ง เมื่อเลขลำดับเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ค่าคงที่นี้เปรียบเสมือนสถานีปลายทางของขบวนรถไฟ เราเรียกค่าคงที่นี้ว่า “ลิมิต” (Limit) ของลำดับ

ยกตัวอย่างเช่น ลำดับ 1/n

• เมื่อ n = 1, พจน์แรกของลำดับคือ 1/1 = 1
• เมื่อ n = 2, พจน์ที่สองของลำดับคือ 1/2 = 0.5
• เมื่อ n = 10, พจน์ที่สิบของลำดับคือ 1/10 = 0.1
• เมื่อ n = 100, พจน์ที่ร้อยของลำดับคือ 1/100 = 0.01

จะเห็นได้ว่า ยิ่ง n มีค่ามากขึ้น พจน์ของลำดับ 1/n จะยิ่งเข้าใกล้ 0 มากขึ้นเท่านั้น ดังนั้น ลำดับ 1/n เป็นลำดับลู่เข้า และมีลิมิตเท่ากับ 0

ลำดับลู่ออก: การเดินทางไร้จุดหมาย

ในขณะที่ลำดับลู่เข้ามุ่งหน้าสู่จุดหมายปลายทางอย่างชัดเจน ลำดับลู่ออกกลับเป็นดังขบวนรถไฟที่วิ่งอย่างไร้ทิศทาง อาจจะวิ่งวนเป็นวงกลม วิ่งไปข้างหน้าแล้วถอยหลัง หรือวิ่งออกนอกรางไปเลยก็ได้

ลำดับลู่ออก คือ ลำดับที่ไม่ได้ลู่เข้า นั่นหมายความว่า พจน์ของลำดับอาจจะ

• เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่มีที่สิ้นสุด เช่น ลำดับ 1, 2, 3, 4, …
• ลดลงเรื่อย ๆ โดยไม่มีที่สิ้นสุด เช่น ลำดับ -1, -2, -3, -4, …
• แกว่งไปมาโดยไม่เข้าใกล้ค่าคงที่ใด ๆ เช่น ลำดับ 1, -1, 1, -1, …

การสังเกตลำดับลู่เข้าและลู่ออก

แม้ว่าการพิสูจน์ว่าลำดับใดลู่เข้าหรือลู่ออกจะต้องอาศัยความรู้ทางคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้น แต่เราสามารถสังเกตพฤติกรรมของลำดับเบื้องต้นได้จาก

• การเขียนกราฟของลำดับ: ลำดับลู่เข้าจะมีกราฟที่ลู่เข้าหาเส้นตรงแนวนอนที่แทนค่าลิมิต ในขณะที่ลำดับลู่ออกจะมีกราฟที่พุ่งขึ้น พุ่งลง หรือแกว่งไปมาโดยไม่ลู่เข้าหาเส้นตรงใด ๆ
• การพิจารณาค่าของพจน์เมื่อ n มีค่ามาก: หากพจน์ของลำดับเข้าใกล้ค่าคงที่ค่าหนึ่งเมื่อ n มีค่ามากขึ้น ลำดับนั้นน่าจะเป็นลำดับลู่เข้า แต่หากพจน์ของลำดับเพิ่มขึ้น ลดลง หรือแกว่งไปมาโดยไม่เข้าใกล้ค่าคงที่ใด ๆ ลำดับนั้นน่าจะเป็นลำดับลู่ออก

การเข้าใจถึงลักษณะของลำดับลู่เข้าและลู่ออก เป็นพื้นฐานสำคัญในการศึกษาแคลคูลัส ซึ่งเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังในการวิเคราะห์ฟังก์ชันและแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน