Comment calculer une surface en m2 avec 4 côtés différents ?

Déterminer l’Aire d’une Surface à Quatre Côtés Irréguliers : La Formule de Bretschneider à la Rescousse

Contrairement aux rectangles ou aux carrés dont le calcul de surface est une affaire simple, déterminer l’aire d’une surface possédant quatre côtés de longueurs différentes représente un défi plus conséquent. Heureusement, la géométrie nous offre un outil puissant : la formule de Bretschneider. Cette formule, élégante et précise, permet de calculer l’aire d’un quadrilatère irrégulier, à condition de connaître les longueurs de ses quatre côtés et la mesure de deux angles opposés.

Pourquoi la formule de Bretschneider est-elle nécessaire ?

Un quadrilatère irrégulier, par définition, ne possède pas de propriétés régulières comme les angles droits ou les côtés parallèles. Il est impossible d’utiliser les formules simples associées aux formes géométriques plus connues. Décomposer le quadrilatère en triangles, bien que possible, peut s’avérer complexe et induire des erreurs de mesure. La formule de Bretschneider offre une solution directe et fiable.

Les informations requises pour appliquer la formule :

Pour calculer l’aire d’un quadrilatère irrégulier à l’aide de la formule de Bretschneider, vous aurez besoin de :

• Les longueurs des quatre côtés : Nommons-les a, b, c et d. Il est crucial de les mesurer avec précision.
• La mesure de deux angles opposés : Nommons-les A et C. Ces angles doivent être opposés l’un à l’autre au sein du quadrilatère.

Les étapes pour calculer la surface :

1. Calculer le demi-périmètre (s) : C’est la première étape. On additionne les longueurs des quatre côtés et on divise le résultat par deux. La formule est : s = (a + b + c + d) / 2

2. Appliquer la formule de Bretschneider : Voici la formule clé :

   Aire = √[(s - a) * (s - b) * (s - c) * (s - d) - (a * b * c * d) * cos²((A + C) / 2)]

   • Remplacez a, b, c, d et s par les valeurs que vous avez mesurées et calculées.
   • N’oubliez pas que l’angle est en degrés et que la fonction cos²(x) signifie le carré du cosinus de l’angle x.

Exemple pratique :

Imaginons un quadrilatère irrégulier avec les côtés suivants :

• a = 5 mètres
• b = 7 mètres
• c = 6 mètres
• d = 8 mètres
• Angle A = 80 degrés
• Angle C = 110 degrés

1. Calcul du demi-périmètre (s) : s = (5 + 7 + 6 + 8) / 2 = 13 mètres

2. Application de la formule de Bretschneider :

   Aire = √[(13 – 5) (13 – 7) (13 – 6) (13 – 8) – (5 7 6 8) * cos²((80 + 110) / 2)]

   Aire = √[(8 6 7 5) – (1680) cos²(95)]

   Aire = √[1680 – (1680 * (-0.076))] (Note: cos(95) ≈ -0.087 et cos²(95) ≈ 0.0076)

   Aire = √[1680 + 127.68]

   Aire = √1807.68

   Aire ≈ 42.52 mètres carrés

Conclusion :

La formule de Bretschneider se révèle un outil indispensable pour calculer l’aire d’une surface irrégulière à quatre côtés. Bien qu’elle puisse paraître intimidante au premier abord, une compréhension claire des étapes et des mesures nécessaires permet d’obtenir un résultat précis et fiable. Elle est particulièrement utile dans des domaines variés, de l’arpentage à la conception architecturale, où la précision des mesures est primordiale. Alors, la prochaine fois que vous vous retrouverez face à un quadrilatère irrégulier, n’oubliez pas la formule de Bretschneider !