Comment savoir si un système a une solution ?

Déterminer l’existence de solutions d’un système d’équations : au-delà de la simple vérification

Vérifier si un point donné est solution d’un système d’équations est une procédure simple : on substitue les coordonnées du point dans chaque équation et on observe si les égalités sont vérifiées. Si toutes les équations sont satisfaites, le point est une solution. Dans le cas contraire, il ne l’est pas. Cependant, cette méthode ne répond qu’à une partie du problème. Comment savoir si un système admet une solution, voire plusieurs, sans avoir de candidat potentiel à tester ? Cet article explore les différentes approches pour déterminer l’existence de solutions d’un système d’équations.

La nature du système d’équations joue un rôle crucial dans la stratégie à adopter. Distinguons plusieurs cas :

1. Systèmes d’équations linéaires:

Pour les systèmes d’équations linéaires, plusieurs méthodes permettent de déterminer l’existence et le nombre de solutions :

• Méthode graphique: En représentant graphiquement chaque équation (droites en 2D, plans en 3D), l’intersection des représentations graphiques correspond aux solutions du système. Pas d’intersection signifie aucune solution, une intersection unique signifie une solution unique, et une superposition des représentations graphiques indique une infinité de solutions. Cette méthode est visuellement intuitive, mais moins précise pour des systèmes complexes.

• Méthode de substitution ou d’élimination: Ces méthodes algébriques consistent à manipuler les équations pour isoler une variable et la substituer dans les autres équations, ou à éliminer une variable en combinant les équations. L’obtention d’une égalité contradictoire (ex: 0 = 5) indique l’absence de solution. L’obtention d’une identité (ex: 0 = 0) suggère une infinité de solutions. L’obtention d’une valeur unique pour chaque variable indique une solution unique.

• Matrices et déterminants: Pour les systèmes d’équations linéaires, l’utilisation de matrices et le calcul du déterminant de la matrice associée au système permettent de déterminer l’existence et l’unicité des solutions. Un déterminant non nul implique l’existence d’une solution unique.

2. Systèmes d’équations non linéaires:

L’analyse des systèmes d’équations non linéaires est plus complexe. Il n’existe pas de méthode générale garantissant de trouver toutes les solutions. Certaines approches incluent :

• Méthodes graphiques: La représentation graphique peut donner une idée des solutions potentielles, mais ne garantit pas de les trouver toutes.

• Méthodes numériques: Des algorithmes itératifs, comme la méthode de Newton-Raphson, permettent d’approcher les solutions numériquement.

• Étude des fonctions: L’analyse des fonctions impliquées dans le système, notamment la recherche de points d’intersection, de maxima, et de minima, peut aider à identifier des solutions.

Conclusion:

Déterminer l’existence de solutions d’un système d’équations va au-delà de la simple vérification d’un point donné. La nature du système, linéaire ou non linéaire, dicte la méthode à employer. Si les systèmes linéaires offrent des méthodes robustes pour déterminer l’existence et l’unicité des solutions, les systèmes non linéaires requièrent des approches plus nuancées et parfois l’utilisation d’outils numériques. Comprendre ces différentes méthodes permet d’aborder la résolution de systèmes d’équations de manière plus efficace et complète.