Comment savoir si une équation admet une solution ?

Déceler l’Existence de Solutions : Décrypter les Équations f(x) = k

Dans le vaste univers des mathématiques, la question de savoir si une équation admet une solution est fondamentale. Plus précisément, lorsque l’on se penche sur des équations de la forme f(x) = k, où f(x) est une fonction et k une constante, comment pouvons-nous déterminer si un x existe qui satisfait cette équation ? Cet article explorera une méthode puissante pour répondre à cette question, particulièrement utile lorsqu’on travaille sur un intervalle spécifique.

Le Théorème de la Solution Unique : Une Boussole dans l’Inconnu

Un critère particulièrement élégant nous assure de l’existence et de l’unicité d’une solution dans un intervalle donné. Il repose sur trois conditions clés concernant la fonction f(x) et la constante k :

1. Continuité : La fonction f(x) doit être continue sur l’intervalle [a ; b]. En termes simples, cela signifie qu’il n’y a pas de “sauts” ou de “trous” dans la représentation graphique de la fonction sur cet intervalle. On peut tracer la courbe sans lever le crayon.

2. Stricte Monotonie : La fonction f(x) doit être strictement monotone sur l’intervalle [a ; b]. Cela signifie qu’elle est soit strictement croissante (c’est-à-dire que si x1 < x2, alors f(x1) < f(x2)), soit strictement décroissante (c’est-à-dire que si x1 < x2, alors f(x1) > f(x2)) sur tout l’intervalle. En d’autres termes, la fonction ne doit jamais s’arrêter de monter ou de descendre.

3. Valeur Intermédiaire : La constante k doit se trouver entre f(a) et f(b). Plus formellement, soit f(a) < k < f(b), soit f(b) < k < f(a). Cela implique que la valeur k se situe quelque part entre les valeurs que prend la fonction aux extrémités de l’intervalle.

Pourquoi Ces Conditions Sont-Elles Cruciales ?

Chaque condition joue un rôle essentiel :

• Continuité : La continuité est primordiale car elle garantit que la fonction prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b). Sans continuité, il pourrait y avoir un “trou” dans la fonction, empêchant k d’être atteint.

• Stricte Monotonie : La stricte monotonie garantit que la fonction ne prendra une valeur donnée qu’une seule fois. Si la fonction montait et descendait, elle pourrait atteindre k plusieurs fois, rendant la solution non unique.

• Valeur Intermédiaire : Cette condition assure que la valeur k est effectivement “dans la zone” de la fonction sur l’intervalle considéré. Si k était bien au-dessus ou en dessous des valeurs f(a) et f(b), il est peu probable (voire impossible) que la fonction atteigne cette valeur sur cet intervalle.

Illustrations Concrètes

Imaginons f(x) = x² et l’intervalle [0 ; 2], et k = 1.

• f(x) = x² est continue sur [0 ; 2].
• f(x) = x² est strictement croissante sur [0 ; 2].
• f(0) = 0 et f(2) = 4. Donc, 0 < 1 < 4, ce qui signifie que k = 1 se trouve entre f(0) et f(2).

Toutes les conditions sont remplies, donc l’équation x² = 1 a une solution unique dans l’intervalle [0 ; 2]. Cette solution est évidemment x = 1.

En revanche, si l’intervalle était [-1 ; 1], la fonction ne serait pas strictement monotone. Elle serait décroissante sur [-1 ; 0] et croissante sur [0 ; 1]. L’unicité de la solution n’est alors plus garantie par ce théorème.

Conclusion : Un Outil Puissant, Mais Pas Universel

La méthode décrite est un outil précieux pour déterminer l’existence et l’unicité d’une solution à une équation f(x) = k sur un intervalle donné. Elle offre une approche rigoureuse et élégante. Cependant, il est crucial de se souvenir qu’elle n’est pas la seule méthode disponible, ni une panacée. Si les conditions ne sont pas remplies, cela ne signifie pas nécessairement qu’il n’y a pas de solution ; cela signifie simplement que cette méthode spécifique ne peut pas être utilisée pour le prouver. D’autres techniques d’analyse, telles que l’étude des variations de la fonction ou l’utilisation de théorèmes d’existence plus généraux (comme le théorème des valeurs intermédiaires dans sa forme générale), peuvent être nécessaires dans ces cas.