Hoe bereken je het middelpunt van een cirkel?

Het middelpunt van een cirkel bepalen: eenvoudiger dan je denkt

Het vinden van het middelpunt van een cirkel lijkt misschien een complexe wiskundige opgave, maar met de juiste kennis is het verbazingwekkend simpel. De sleutel ligt in het begrijpen van de cirkelvergelijking. Deze vergelijking beschrijft de relatie tussen alle punten op de cirkel en het middelpunt ervan.

De meest voorkomende vorm van de cirkelvergelijking is:

(x – a)² + (y – b)² = r²

Waarbij:

• (x, y) de coördinaten van een willekeurig punt op de cirkel zijn.
• (a, b) de coördinaten van het middelpunt M van de cirkel zijn.
• r de straal van de cirkel is.

De schoonheid van deze vergelijking ligt in haar eenvoud: de coördinaten van het middelpunt zijn direct af te lezen! Het middelpunt M heeft simpelweg de coördinaten (a, b).

Voorbeeld:

Stel je hebt de cirkelvergelijking:

(x – 3)² + (y + 2)² = 25

In dit geval is:

• (x – a) = (x – 3), dus a = 3
• (y – b) = (y + 2), dus b = -2
• r² = 25, dus r = 5 (de straal is 5)

Het middelpunt M van deze cirkel heeft dus de coördinaten (3, -2).

Wat als de vergelijking niet in de standaardvorm staat?

Soms wordt de cirkelvergelijking gegeven in een uitgebreidere vorm, bijvoorbeeld:

x² + y² + 6x – 4y – 3 = 0

Om het middelpunt te bepalen, moet je deze vergelijking eerst herleiden tot de standaardvorm door kwadraat af te splitsen:

1. Groepeer de x- en y-termen: (x² + 6x) + (y² – 4y) – 3 = 0
2. Kwadraat afsplitsen: (x² + 6x + 9) – 9 + (y² – 4y + 4) – 4 – 3 = 0
3. Hergroeperen tot standaardvorm: (x + 3)² + (y – 2)² = 16

Nu is de vergelijking in de standaardvorm en kunnen we het middelpunt direct aflezen: (-3, 2) en de straal is √16 = 4.

Het bepalen van het middelpunt van een cirkel is dus een kwestie van de vergelijking herkennen en de juiste waarden eruit halen. Met deze simpele techniek kun je snel en efficiënt het middelpunt van elke cirkel vinden, ongeacht hoe de vergelijking wordt gepresenteerd.