Quelle est la formule pour calculer delta ?

Décrypter le Delta : clé de voûte des équations quadratiques

L’équation quadratique, pierre angulaire de l’algèbre, fascine et parfois décourage par sa résolution. Au cœur de cette résolution se trouve un élément crucial : le discriminant, communément noté Δ (delta). Comprendre Δ, c’est détenir la clé pour déverrouiller les solutions, ou constater leur absence. Mais quelle est précisément la formule de ce mystérieux delta, et que nous révèle-t-il ?

L’équation quadratique générale s’écrit sous la forme : ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres réels, avec a ≠ 0. C’est la condition a ≠ 0 qui assure le caractère quadratique de l’équation. Sans elle, nous serions face à une simple équation linéaire.

La formule du discriminant Δ est simple, mais d’une puissance insoupçonnée :

Δ = b² – 4ac

Ce nombre, fruit d’une opération élémentaire, nous renseigne sur la nature des solutions de l’équation. Il agit comme un indicateur, nous guidant vers la bonne méthode de résolution et nous dévoilant le nombre de solutions réelles.

Trois scénarios, trois réponses :

• Δ > 0 (Delta positif) : Deux solutions réelles distinctes. L’équation admet deux racines réelles différentes, calculables grâce à la formule suivante, directement dérivée de la formule quadratique :

  x = (-b ± √Δ) / 2a

  L’utilisation du symbole ± indique que nous devons calculer deux valeurs distinctes de x : une avec l’addition et une avec la soustraction.

• Δ = 0 (Delta nul) : Une solution réelle double. L’équation possède une seule solution réelle, qui est une racine double. Cette solution est donnée par :

  x = -b / 2a

• Δ < 0 (Delta négatif) : Aucune solution réelle. Dans ce cas, l’équation n’admet pas de solution réelle. Les solutions, si on souhaite les exprimer, seront des nombres complexes (impliquant le nombre imaginaire i = √-1). La résolution dans le domaine des nombres complexes nécessite des outils mathématiques plus avancés.

Au-delà du calcul : l’interprétation géométrique

Le discriminant possède également une interprétation géométrique fascinante. Il représente le carré de la distance entre l’axe des abscisses et le sommet de la parabole représentative de la fonction quadratique y = ax² + bx + c. Un delta positif indique que la parabole croise l’axe des x en deux points distincts, un delta nul indique une tangence avec l’axe des x, et un delta négatif signifie que la parabole ne croise jamais l’axe des x.

En conclusion, le discriminant Δ est bien plus qu’une simple formule : c’est un outil puissant qui permet de déterminer la nature et le nombre de solutions d’une équation quadratique, ouvrant ainsi la voie à une compréhension plus profonde de ces équations fondamentales des mathématiques. Sa simplicité apparente cache une riche signification algébrique et géométrique.